위험성향과 효용이론(utility theory)
앞서 확률모형에선 대안의 기대값을 기준으로 의사결정을 하였다.
기대가치는 선택의 결과로 우리가 얻게 될 실제 가치가 아니고, 사람들마다 의사결정의 기준이 상이하다.
어떤 사람은 성과의 수준이 적더라도 확실히 보장된 성과를 기대하고, 위험성이 높아도 큰 성과를 기대하기도 한다.
선택의 결과로 얻게 될 불확실한 성과에 대한 투자자의 태도를 위험성향이라고 한다.
모든 선택 문제에서는 불확실성에서 비롯된 위험이 내포되어 있고, 불확실 환경에서의 의사결정시 가장 기본적인 교환은 의사결정자가 일정한 효익을 얻기 위해 위험을 얼마나 받아들일까 선택하여야 한다.
투자자의 위험성향이 반영된 의사결정모델을 선호모형이라고 한다.
예제: 1000원을 투자하여 게임에 참가한다고 가정할 때
- 대안1은 50%확률로 100만원을 얻고 50%확률로 90만원을 잃는다.
- 대안2는 50%확률로 5만원을 얻고 50%확률로 1만원을 잃는다.
대안 1의 기대값은 5만원, 대안 2의 기대값은 2만원이지만
개개인의 위험성향에 따라 90만원을 잃는 위험을 감수하고 싶지 않을 수 있기 때문에 선호모형의 도입이 필요하다.
그렇다면 사람들이 선호하거나 기피하는 정도는 어떻게 표현할 수 있을까?
불확실한 추첨(lottery)과 기꺼이 교환할 수 있는 최소의 확실한 금액을
확실등가(certainty monetary equivalents : CE 혹은 CME)라고 한다.
- 확실등가는 불확실한 기회 자체와 동일한 가치를 의미한다.
- 로터리를 소유한 사람이 팔 의사가 있는 최소 판매가격.
- 로터리 소유자가 결정한 가치로서 로터리를 구입하기 위해 지불할 용의가 있는 최대 구매가격과는 다르다.
예제: 확실등가의 의미
50% 확률로 100만원, 50% 확률로 10만원을 받을 수 있는 복권(로터리)이 있을 때,
로터리 소유자가 이를 최소 60만원에 팔고 싶다면 이때 확실등가가 60만원이다.
이때 확실등가는 금액과 확률 뿐만 아니라 소유자의 재무상태, 위험성향, 성격 등 여러 요인에 영향 받을 수 있다.
효용은 위 예제에서 설명한 요인(선호정도, 위험회피정도)를 정량화하기 위해 도입한 개념이고,
의사결정 대안의 성과를 효용으로 변환해주는 함수를 효용함수(utility function)라고 한다.
각 성과마다 위험회피정도를 비용으로, 선호정도를 이익으로 반영하는 것을 의미한다.
투자자의 위험성향을 반영한 로터리의 가치를 평가하는 합리적인 방법은,
각 성과를 효용으로 전환한 후 이들의 기대효용(EU: expected utility)을 로터리의 가치로 보는 것이다.
로터리의 주관적 가치 = 기대효용 = EU(x) = U(확실등가)
예제: 효용함수를 적용하여 확실등가를 찾는 과정
p의 확률로 100만원을 얻고, 1-p의 확률로 100만원을 잃는 로터리의 가치는,
EU = p * U(100) + (1 - p) * U(-100) (U(x)는 효용함수를 의미)
- EU = U(x)를 만족하는 x가 해당 로터리의 확실등가이다.
- 로터리의 기대값 E(x)가 기대효용 EU보다 크다면 위험회피성향을 띠는 것이다.
- 위 경우는 100만원을 얻는 것보다 100만원 잃는 것이 더 싫은 것을 의미한다.
위험보상(risk premium)은 (기대값 - 확실등가)로 정의한다.
이때 위험보상이 0보다 크면 위험회피자, 0이면 위험중립자, 0보다 작으면 위험선호자라고 한다.
위험보상 계산 방법을 정리해보면,
1. 로터리의 기대효용(EU) 계산.
2. 효용함수에서 기대효용에 해당하는 확실등가 찾기.
3. 로터리의 기대값(E(x)) 계산.
4. 기대값 - 확실등가 계산.
효용함수를 추정하는 것은 개인의 주관적 판단과 상황에 따라 달라지므로 객관성을 높일 방법이 필요하다.
크게 (1)기준로터리 활용과 (2)효용함수를 이용하는 방법으로 나뉘어진다.
(1)기준로터리 활용
성과가 100, 0인 로터리의 효용함수를 구한다면,
확실등가방법(확률 0.5 0.5로 하는 기준로터리의 확실등가 결정)과
확률등가방법(확실등가가 50인 확률을 결정), 두 가지 방법으로 효용함수를 도출한다.
(2)효용함수를 이용
기준 로터리 활용하는 방법은 불확실한 로터리와 확실한 성과값을 반복하여 비교하는 과정이 번거롭기 때문에
이미 알고 있는 형태의 특정 효용함수를 선택하고 함수의 모수를 추정하여 개인의 효용함수를 결정한다.
가장 많이 이용되는 위험회피형 효용함수는 음지수함수
- U(0)은 0이고 1로 수렴하는 위로 볼록한 꼴의 함수
- R은 위험감내도(Risk tolerance)를 의미하며, R이 작을수록 위험회피 정도가 높고 볼록한 정도가 커진다.
- 이 함수는 위험회피적 성향만 추정 가능하다는 한계를 가진다.
예제: R이 100이고, 0.6의 확률로 300, 0.4의 확률로 50을 얻는 로터리의 확실등가를 구하라
1. 음지수함수(효용함수)에 300과 50을 대입해보면, U(300) = 0.95, U(50) =0.39
2. EU = 0.6 * 0.95 + 0.4 * 0.39 = 0.7263. U(x) = 0.726인 확실등가 x를 구하면, x = -R * ln(1 - 0.726) = 130
- 위험감내도가 높아지면 확실등가는 로터리의 기대값과 비슷해져간다. (위험중립과 비슷해짐)
위험성향 측정함수
- 효용함수는 증가함수이므로 1차도함수는 양수.
- 위험회피형 함수의 경우에는 2차도함수는 음수이므로 A(x)는 모든 x에 대해 양의 값을 갖는다.
- 위험중립형 함수의 경우에는 2차도함수는 0이므로 A(x)는 모든 x에 대해 0이다.
- 위험선호형 함수의 경우에는 2차도함수는 양수이므로 A(x)는 모든 x에 대해 음의 값을 갖는다.
※본 게시글은 경희대학교 이효성 교수님의 의사결정론 강의 자료를 참고하여 작성하였습니다.